如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序

※鱼鱼╰☆

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* `4 ]# w7 g3 C6 P; L$ a8 x* m! Q! Z; H) V学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
假设你已经读懂了 SVM 的原理，并了解公式怎么推导出来的，比如到这里：
$ S% L$ h. r9 l0 ^0 u' G# ]
SVM 的问题就变成：求解一系列满足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：

" i" \/ X  r& F3 t6 @( m上面的公式计算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 类别，否则是 -1 类别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
# B( y# \6 X" K; L, L2 H  K. i那么剩下的 SVM 实现问题就是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个起点，比如 Platt 的 SMO 算法，它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
8 A9 S- F, Z+ C8 P4 o- j第一步：实现传统的 SMO 算法
现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
procedure takeStep(i1,i2)
& I, D; A$ w$ Y6 ]7 N4 l* g) h if (i1 == i2) return 0
/ w5 ^8 @, Z- m3 q( Z8 i: K alph1 = Lagrange multiplier for i1

y1 = target[i1]

E1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)

; U) w% W( U- H" e% X' ys = y1*y2
! x3 w0 R/ a8 d* e  P
. H! H4 ]- l% h* Z  B6 JCompute L, H via equations (13) and (14)

! \/ D8 t& I1 k, a6 P: F) pif (L == H)
, ~2 Y7 Q1 I) p; m! F' z8 @! m( e
return 0

; |3 R$ r% ]2 w0 N/ N$ @k11 = kernel(point[i1],point[i1])

& Y. j9 a6 c4 v) ]* O; kk12 = kernel(point[i1],point[i2])

' o2 R  h- m% m' P! Wk22 = kernel(point[i2],point[i2])

( F6 j& {% b! h, p2 x( heta = k11+k22-2*k12

' @4 p8 l% f! e2 ?" f) n( Jif (eta > 0)

{

a2 = alph2 + y2*(E1-E2)/eta

if (a2 < L) a2 = L
: m& f4 ^4 w8 J
5 h& Z. j; J+ f& b5 ?else if (a2 > H) a2 = H
$ c; h/ w8 ?1 B' d3 l" {0 X
: {' ]6 ]5 E6 B; c2 F" d7 I}
) H( ^( z7 k3 ^" \
. B2 A- {% }0 C- a& _, I  Lelse

{
9 v" V2 N% w- `1 D& @: z9 I8 ?9 b2 |
+ N/ \, ^- d5 V9 H) WLobj = objective function at a2=L
2 }+ j2 L4 [4 O& u; _7 p1 F: J/ V
Hobj = objective function at a2=H

' ?- B: m& T. U+ J9 P. z) _. [if (Lobj < Hobj-eps)

a2 = L

else if (Lobj > Hobj+eps)

a2 = H

/ i2 ~& ]7 u* Eelse
2 l& h  i3 A' G+ I+ B- Z
a2 = alph2
, P2 ]8 n0 ^( L& ]/ O8 L
}
$ D8 T! e- D4 E2 ~4 J) J
' Q# W9 V2 |6 _. J0 D0 wif (|a2-alph2| < eps*(a2+alph2+eps))
9 E2 w: w4 [+ Y4 @+ t. ^
return 0

' W% P- X1 v0 p4 G5 [3 [a1 = alph1+s*(alph2-a2)
5 I; k$ x. n# O/ j6 M
- ~) [: a5 u# h9 jUpdate threshold to reflect change in Lagrange multipliers

Update weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear

2 n7 _2 o$ w& S3 A  G3 sUpdate error cache using new Lagrange multipliers

# z3 }! H; B* L7 t* F9 OStore a1 in the alpha array
3 B1 W! P% \  g0 C( Y: P
) d3 o: ^& A. C1 e  M, kStore a2 in the alpha array

+ b2 z9 J4 Y6 z& R1 W, ]return 1
4 P) a% c# M* B! ^# E6 Wendprocedure
0 r2 ?0 [' q- A2 Y6 l- X7 @核心代码很紧凑，就是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会不停的选择最需要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，保证得到一个正确可用的 SVM 程序，这是后面的基础。
7 n' _1 a1 _5 u1 E- L3 e3 d6 V第二步：实现核函数缓存
4 s+ Y6 m6 o* t, ~# [) S观察下上面的伪代码，开销最大的就是计算核函数 K(xi, xj)，有些计算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设总共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，需要 N*N * sizeof(double) 的空间，如果训练集有 10 万个样本，那么需要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，所以核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中其实会反复用到特定的几个有限的核函数求解，所以命中率不用担心。
有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
第三步：优化误差值求解
. D- x( O8 y% k, H注意看上面的伪代码，里面需要计算一个估计值和真实值的误差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
E(i) = f(xi) - yi
# N, d: J- }% U这就是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，因为回顾下上面的公式，计算一遍 f(x) 需要 for 循环做乘法加法。
0 J) K2 p/ R. fplatt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。其实这是有问题的，后面我们会说到。最好的方式是定义一个 g(x) 令其等于：
: Y# ^1 b) |. I
也就是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的计算，那么我们随时可以计算误差：
/ {$ c9 j$ C- r. c- cE(j) = g(xj) + b - yj
所以最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里因为所有 alpha 值初始化成了 0，所以 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，稍微观察一下 g(x) 的公式，你就会发现，因为去掉了 b 的干扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变化的，所以我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变化了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，具体代码类似：
7 B+ A8 ]0 S; \7 N+ ^; E, Sdouble Kik = kernel(i, k);
9 e! l- n& _; j2 V: Z0 t% ddouble Kjk = kernel(j, k);
$ c4 n# O. V: U. `7 @G[k] += delta_alpha_i * Kik * y + delta_alpha_j * Kjk * y[j];
! l6 z; M% W! u" E( O6 M: y把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 以后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复计算。
2 \- @" O4 h, u5 ?( y% a这其实是很直白的一种优化方式，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
第四步：实现冷热数据分离
Platt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不容易变动，而且伪代码也是优先在工作集里寻找 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对工作集整体的 alpha 值进行迭代。
3 N" t- W8 m4 h& t那么我们势必就可以把工作集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于等于 0 或者大于等于 C 的 alpha）。
随着迭代加深，会发现大部分时候只需要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步不停的收缩，所以区分了冷热以后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔不行了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
- J- \0 N) g+ \7 Z3 Y第五步：支持 Ensemble
0 Q/ Y& u3 u% Q$ Y! f4 \! B* O大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，所以我们需要做一些改动。可以让外面针对某一个分类传入一个“权重”过来，修正 SVM 的识别结果。
最传统的修改方式就是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修改方式是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入计算。
这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们继续优化。
第六步：继续优化核函数计算
$ V2 T' H/ [- x4 Q5 W% v核函数缓存非常消耗内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
: h/ o6 V( O! P' \& {7 t针对核函数的计算和存储有很多优化方式，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只计算有限的几个核函数，然后通过插值的方式求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降低了一倍空间需求。
6 u: s1 {' |) Q- d$ W9 m& A第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
/ j% O8 t( K. D( Y- l" B0 i对于高维样本，比如文字这些，可能有上千维，每个样本的非零特征可能就那么几个，所以稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
+ V" r! {! v" z. R但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特征，大部分样本都有 100个以上的非零特征，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特征的值，在工程方面就有很多优化方式了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能获得更好的计算性能。
所以最好的方式是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾时间和空间效率，对不同的数据选择最适合的方式。
第八步：针对线性核进行优化
/ @% S; p! T1 F( b传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，就是：
K(xi, xj) = xi . xj
还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度下降的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适合线性核，使用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加庞大的数据集，LIBLINEAR 就是做这件事情的。
. Y4 g1 @2 z. v同时这类算法也适合 online 训练和并行训练，可以逐步更新增量训练新的样本，还可以用到多核和分布式计算来训练模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度下降迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的方式求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
后话
上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的原理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
' n9 c* V# q- o上面就是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再往后还有兴趣，可以接着实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。

  ]! c9 O, ]" [& ^9 U( W) V4 S2 {来源：http://www.yidianzixun.com/article/0Lv0UIiC
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