如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序

※鱼鱼╰☆

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2 [- E$ }. ~. ]( O) f7 v学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
假设你已经读懂了 SVM 的原理，并了解公式怎么推导出来的，比如到这里：
. Q, [) y6 R: v
SVM 的问题就变成：求解一系列满足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：
+ D! k3 I& h1 C( v
上面的公式计算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 类别，否则是 -1 类别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
) c, u1 r' L6 S( C( I那么剩下的 SVM 实现问题就是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个起点，比如 Platt 的 SMO 算法，它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
第一步：实现传统的 SMO 算法
现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
7 g% Z" z2 v. }procedure takeStep(i1,i2)
3 @- X- v& j2 D8 E$ b2 q! h if (i1 == i2) return 0
alph1 = Lagrange multiplier for i1
" I) J, a# {& O) e
y1 = target[i1]
! ^# x8 t, H. W" a* j% t
E1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)

s = y1*y2
" a$ B9 d( K* ^( L5 [/ K
( W. U- ^  a! K" x' k# BCompute L, H via equations (13) and (14)
/ ?' d( l' D, f
* J$ Y) c$ T/ U5 }7 w% ?# Yif (L == H)
. U" x) ~# Y7 R% A. i) V" T
# s( ?6 ^  ?# S2 j- mreturn 0

k11 = kernel(point[i1],point[i1])
8 i( X( A0 u) k0 q8 g* ~' {8 n
  d1 X- O) K& i1 X7 }k12 = kernel(point[i1],point[i2])
$ @3 M0 y  ]; w) Y0 k* |  a
! G8 f% G; p7 @1 ?7 f# ?k22 = kernel(point[i2],point[i2])

eta = k11+k22-2*k12

if (eta > 0)

8 b' P0 L0 b) z" V1 ]{

3 b6 O( u% K" |+ S" _) q/ ?& Ka2 = alph2 + y2*(E1-E2)/eta

3 X) d; O( l8 X; s0 N+ Q. Sif (a2 < L) a2 = L
- y& g) |" h' ]9 `, U
else if (a2 > H) a2 = H
2 `% r: E* U, K  @9 }( Q
}
& [; w( s5 T9 D) j: X
% q# D3 b! K1 [else

{

9 d; y  S9 m9 E, y5 g" O# w, j) [( iLobj = objective function at a2=L
. [6 h. o$ K" g7 o8 x% i2 l7 f
Hobj = objective function at a2=H

if (Lobj < Hobj-eps)
" Q# h& F1 k' ~9 d5 \8 x- }
4 w6 A/ P+ c! |( E8 Ca2 = L

: G, Q+ ?' a7 s* j/ j5 l9 welse if (Lobj > Hobj+eps)
/ M; g" C4 i) X1 Z$ d
$ Y  d0 _# j' }- s( Ia2 = H

+ h; o  J) q; s. m1 J. Celse

a2 = alph2

}
+ T2 U1 A, C$ [( `
  G3 O. \1 Q! }if (|a2-alph2| < eps*(a2+alph2+eps))

return 0

1 V0 I# Y/ ]+ ]$ Ca1 = alph1+s*(alph2-a2)
4 H: F! C- o$ j* d# I
Update threshold to reflect change in Lagrange multipliers

Update weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear

4 a- g% @: c6 R' ?Update error cache using new Lagrange multipliers

Store a1 in the alpha array

Store a2 in the alpha array

  A6 T& C) d; zreturn 1
/ a4 v6 |& p' S# Eendprocedure
9 G. c. m, ?* i5 Z% G核心代码很紧凑，就是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会不停的选择最需要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，保证得到一个正确可用的 SVM 程序，这是后面的基础。
第二步：实现核函数缓存
观察下上面的伪代码，开销最大的就是计算核函数 K(xi, xj)，有些计算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设总共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，需要 N*N * sizeof(double) 的空间，如果训练集有 10 万个样本，那么需要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，所以核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中其实会反复用到特定的几个有限的核函数求解，所以命中率不用担心。
有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
5 a9 ]8 I5 E9 n6 t第三步：优化误差值求解
注意看上面的伪代码，里面需要计算一个估计值和真实值的误差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
E(i) = f(xi) - yi
" F4 ^* c8 Z( K8 H* r7 I这就是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，因为回顾下上面的公式，计算一遍 f(x) 需要 for 循环做乘法加法。
platt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。其实这是有问题的，后面我们会说到。最好的方式是定义一个 g(x) 令其等于：
1 Q* q5 k, z5 a
6 Y% e8 q% X& N1 f( K也就是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的计算，那么我们随时可以计算误差：
E(j) = g(xj) + b - yj
0 }1 \; d$ e# T7 P$ w: A所以最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里因为所有 alpha 值初始化成了 0，所以 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，稍微观察一下 g(x) 的公式，你就会发现，因为去掉了 b 的干扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变化的，所以我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变化了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，具体代码类似：
2 N- a9 N  ]. Hdouble Kik = kernel(i, k);
double Kjk = kernel(j, k);
G[k] += delta_alpha_i * Kik * y + delta_alpha_j * Kjk * y[j];
把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 以后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复计算。
这其实是很直白的一种优化方式，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
第四步：实现冷热数据分离
* ~7 r6 a  Q8 f  J* v# t1 r+ UPlatt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不容易变动，而且伪代码也是优先在工作集里寻找 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对工作集整体的 alpha 值进行迭代。
那么我们势必就可以把工作集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于等于 0 或者大于等于 C 的 alpha）。
随着迭代加深，会发现大部分时候只需要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步不停的收缩，所以区分了冷热以后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔不行了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
第五步：支持 Ensemble
大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，所以我们需要做一些改动。可以让外面针对某一个分类传入一个“权重”过来，修正 SVM 的识别结果。
1 J5 v  |3 B5 [! t! I, f最传统的修改方式就是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修改方式是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入计算。
这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
" [- F5 @- I1 K# q, W; H  o- T; i. Y实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们继续优化。
( Z! R& v+ g: n  t2 N第六步：继续优化核函数计算
核函数缓存非常消耗内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
2 M. w8 {, x% P& z7 F+ }由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
1 k# o( Y$ K: J. K针对核函数的计算和存储有很多优化方式，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只计算有限的几个核函数，然后通过插值的方式求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降低了一倍空间需求。
$ @- m0 x9 o' h7 a, }第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
对于高维样本，比如文字这些，可能有上千维，每个样本的非零特征可能就那么几个，所以稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
' ^( u# G2 H0 k$ n8 B但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特征，大部分样本都有 100个以上的非零特征，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
1 S+ V% r; ?" f1 T/ R3 L非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特征的值，在工程方面就有很多优化方式了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能获得更好的计算性能。
所以最好的方式是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾时间和空间效率，对不同的数据选择最适合的方式。
第八步：针对线性核进行优化
传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，就是：
K(xi, xj) = xi . xj
还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度下降的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适合线性核，使用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加庞大的数据集，LIBLINEAR 就是做这件事情的。
同时这类算法也适合 online 训练和并行训练，可以逐步更新增量训练新的样本，还可以用到多核和分布式计算来训练模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度下降迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
' P) Q7 P7 ~( P9 L或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的方式求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
后话
上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的原理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
# ~7 F: _7 b3 e$ y/ `2 H上面就是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再往后还有兴趣，可以接着实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。

& E: v% K. Z; u' N% [来源：http://www.yidianzixun.com/article/0Lv0UIiC
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