如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序

※鱼鱼╰☆

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学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
假设你已经读懂了 SVM 的原理，并了解公式怎么推导出来的，比如到这里：
$ f$ b2 P9 c- F% `; N9 g/ D5 H
SVM 的问题就变成：求解一系列满足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：

上面的公式计算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 类别，否则是 -1 类别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
那么剩下的 SVM 实现问题就是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个起点，比如 Platt 的 SMO 算法，它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
第一步：实现传统的 SMO 算法
/ V! P5 w, C/ y. Q: s2 Z$ A现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
procedure takeStep(i1,i2)
if (i1 == i2) return 0
6 h$ d% E1 W3 Z' l( Q/ x  v3 v alph1 = Lagrange multiplier for i1
( t4 p0 ?$ C& P& T9 v9 o5 O
y1 = target[i1]
1 [9 n5 @' i( ~& b, j) b
3 ?* d3 J' m* l- [& d6 n9 Y2 D2 AE1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)

+ {$ M& }) @5 [0 Vs = y1*y2

Compute L, H via equations (13) and (14)

if (L == H)
% o7 m- Y! w. F% f* N4 L6 s
! N/ B  j2 d8 y/ Kreturn 0
3 ^5 {1 v: r; \: `
k11 = kernel(point[i1],point[i1])

9 j% _7 H% F4 H- r4 Hk12 = kernel(point[i1],point[i2])

+ t5 d; s5 b7 b; J  Y  R5 C8 hk22 = kernel(point[i2],point[i2])

+ f' [5 H( I4 y# Neta = k11+k22-2*k12

if (eta > 0)
% ?5 D) M; j1 T
; S; m5 K5 U% c( n/ Q* Z% G; L3 p{

7 h" G( {- B. P; Ea2 = alph2 + y2*(E1-E2)/eta
' h- h$ J/ D: Z) e( Y& q
if (a2 < L) a2 = L

else if (a2 > H) a2 = H

}

else

8 r. Z% b+ K  E0 G1 h$ r- A! [6 y{
- D+ e3 z9 |! s2 x% ]" _% p
Lobj = objective function at a2=L

" E# C" f7 A* @+ c# |0 D$ HHobj = objective function at a2=H

if (Lobj < Hobj-eps)
: T1 F3 ?; f" g' v: s0 ?
a2 = L
+ s& J) g3 k1 m: Z
2 m8 A# A9 a7 c3 ?' B0 z5 delse if (Lobj > Hobj+eps)

: E0 `+ ~. Y; S- Fa2 = H
  O6 a3 t* I; L1 ]5 e) I
else
/ i2 \5 G9 d) x' h
% M$ i9 I3 R6 Y' w0 _a2 = alph2

}

; z6 {+ Q8 T4 I: gif (|a2-alph2| < eps*(a2+alph2+eps))

5 {2 U# ?" G" Mreturn 0
: c9 {) u+ s, ?, _, U; ^' U" ?- ^! G
: O3 j7 o4 ?! d* y" H" p9 L* Ga1 = alph1+s*(alph2-a2)
# `- E3 ]8 }$ Z/ Y& t
Update threshold to reflect change in Lagrange multipliers
1 a4 d1 K/ `( w. [+ J, c2 k5 v
0 B8 J+ j# F9 f3 ?: \9 MUpdate weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear
$ t, W% j; y6 d( }
Update error cache using new Lagrange multipliers

Store a1 in the alpha array
1 ~: S/ ]0 K/ H) P' n: N
Store a2 in the alpha array

return 1
2 D9 U) K( A5 h$ rendprocedure
核心代码很紧凑，就是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会不停的选择最需要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，保证得到一个正确可用的 SVM 程序，这是后面的基础。
, n: d& r2 p& X) y/ R. Q2 @) B第二步：实现核函数缓存
观察下上面的伪代码，开销最大的就是计算核函数 K(xi, xj)，有些计算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设总共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，需要 N*N * sizeof(double) 的空间，如果训练集有 10 万个样本，那么需要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，所以核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中其实会反复用到特定的几个有限的核函数求解，所以命中率不用担心。
) n9 O* K* a7 G有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
第三步：优化误差值求解
# G* k* v# h2 |0 }/ p注意看上面的伪代码，里面需要计算一个估计值和真实值的误差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
) Z$ f" {+ c3 M. ^- E* `7 l! i  k* xE(i) = f(xi) - yi
这就是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，因为回顾下上面的公式，计算一遍 f(x) 需要 for 循环做乘法加法。
platt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。其实这是有问题的，后面我们会说到。最好的方式是定义一个 g(x) 令其等于：
  w! F  ]; B! A' b3 l
- f3 d  B7 N6 O( [# p4 z. G3 T* C' ]也就是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的计算，那么我们随时可以计算误差：
E(j) = g(xj) + b - yj
$ V9 c' e8 G4 N所以最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里因为所有 alpha 值初始化成了 0，所以 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，稍微观察一下 g(x) 的公式，你就会发现，因为去掉了 b 的干扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变化的，所以我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变化了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，具体代码类似：
double Kik = kernel(i, k);
7 v, t$ _- v$ e. G6 Tdouble Kjk = kernel(j, k);
G[k] += delta_alpha_i * Kik * y + delta_alpha_j * Kjk * y[j];
把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 以后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复计算。
7 B' ^/ H) p) y8 U& e这其实是很直白的一种优化方式，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
" X0 }2 K5 v4 C/ j0 b* _第四步：实现冷热数据分离
Platt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不容易变动，而且伪代码也是优先在工作集里寻找 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对工作集整体的 alpha 值进行迭代。
( m* N& [! D2 q0 v" G那么我们势必就可以把工作集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于等于 0 或者大于等于 C 的 alpha）。
随着迭代加深，会发现大部分时候只需要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步不停的收缩，所以区分了冷热以后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔不行了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
第五步：支持 Ensemble
大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，所以我们需要做一些改动。可以让外面针对某一个分类传入一个“权重”过来，修正 SVM 的识别结果。
最传统的修改方式就是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修改方式是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入计算。
: t# }5 ^  ?& l4 a( O$ i5 C这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
) J& `$ X5 Q& X$ K$ M* c8 H9 L- N实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们继续优化。
8 o& Z9 T# _# g! w第六步：继续优化核函数计算
核函数缓存非常消耗内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
针对核函数的计算和存储有很多优化方式，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只计算有限的几个核函数，然后通过插值的方式求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降低了一倍空间需求。
* P* F3 p( \  w; `7 s, \/ z第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
对于高维样本，比如文字这些，可能有上千维，每个样本的非零特征可能就那么几个，所以稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
; s' e1 G: s1 z! U2 B但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特征，大部分样本都有 100个以上的非零特征，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特征的值，在工程方面就有很多优化方式了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能获得更好的计算性能。
所以最好的方式是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾时间和空间效率，对不同的数据选择最适合的方式。
: h$ N' N4 E0 [/ L- y, G- r  T第八步：针对线性核进行优化
8 p4 ?: y  P- N  Q; v传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，就是：
K(xi, xj) = xi . xj
还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度下降的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适合线性核，使用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加庞大的数据集，LIBLINEAR 就是做这件事情的。
同时这类算法也适合 online 训练和并行训练，可以逐步更新增量训练新的样本，还可以用到多核和分布式计算来训练模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度下降迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的方式求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
# R3 C6 Z( q! ]- h* A( J% J后话
上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的原理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
上面就是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再往后还有兴趣，可以接着实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。

; p8 r* |. J1 g; K. D! ~; T& c9 @来源：http://www.yidianzixun.com/article/0Lv0UIiC
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