如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序

※鱼鱼╰☆

雷锋网 AI 科技评论按，本文为韦易笑在知乎问题如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序下面的回复，雷锋网 AI 科技评论获其授权转载。以下为正文：
学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
# I5 V: V: z  k: }9 X" b) Z- ]& h) l假设你已经读懂了 SVM 的原理，并了解公式怎么推导出来的，比如到这里：

SVM 的问题就变成：求解一系列满足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：

上面的公式计算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 类别，否则是 -1 类别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
那么剩下的 SVM 实现问题就是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个起点，比如 Platt 的 SMO 算法，它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
第一步：实现传统的 SMO 算法
2 K" i1 L) S! q3 f现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
procedure takeStep(i1,i2)
if (i1 == i2) return 0
alph1 = Lagrange multiplier for i1
7 x, d1 d1 r2 H5 J1 h. S
/ w6 H+ B1 j# M" A# l1 \/ ey1 = target[i1]
! N8 Z: r! t1 d& }4 C
+ j6 A/ I6 ?1 R. T6 w2 kE1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)
% \' _: T( |+ |* }8 |
/ ?; _7 R6 ^: U- fs = y1*y2

- Y8 a5 o/ L; T, d6 s  T" BCompute L, H via equations (13) and (14)

if (L == H)

return 0
' D0 X4 p* W; p: Y4 F' u: b! N
. y# [  g9 U( p, @k11 = kernel(point[i1],point[i1])
4 I1 u- G5 L8 H* U, H
k12 = kernel(point[i1],point[i2])

k22 = kernel(point[i2],point[i2])

( H5 q9 |: _. i+ D% peta = k11+k22-2*k12
: O1 m( Y& h+ Y! y5 I) {
1 x6 a4 [( b" e9 Rif (eta > 0)

8 s! A7 O! S5 d, @% O% `6 H) ~{

3 p  J. }6 k% V2 w- ~a2 = alph2 + y2*(E1-E2)/eta

if (a2 < L) a2 = L
+ g/ E) K0 I; E& J$ B& i
else if (a2 > H) a2 = H
2 R3 w3 {' _- g# G; b
}

else
1 O* e) n  T8 z' [
% g9 X" S3 Q4 q# a3 D{
  z9 G) a3 D& y; @4 V, K2 a7 f
" e# |$ A0 F9 u2 ]4 w: o' cLobj = objective function at a2=L
$ R3 h8 z5 w- V* `( ~; m
4 s- e- H+ t- s: \, E  F* ZHobj = objective function at a2=H

, N2 V% i/ V, v) {6 P# E9 xif (Lobj < Hobj-eps)
6 a: t5 `. g# e3 B0 W
a2 = L

$ T1 f  ^! e2 K" l" _- \else if (Lobj > Hobj+eps)
0 B) F1 [$ N, x. X, @& G3 l
a2 = H
' f7 G2 m1 f# z9 X  O5 |) m: h
, q/ x0 ~6 w: y6 [; f- zelse

2 R& @5 h0 G- {, o( q3 K9 V7 Ua2 = alph2

}

6 h9 ]3 P2 l  y8 Y1 zif (|a2-alph2| < eps*(a2+alph2+eps))

4 J; H5 d# N3 Qreturn 0

a1 = alph1+s*(alph2-a2)

2 _. [* P2 z7 _  {# ~1 R0 ]7 kUpdate threshold to reflect change in Lagrange multipliers

Update weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear
2 I# U" O, I! c/ N
Update error cache using new Lagrange multipliers

Store a1 in the alpha array
2 r8 h3 E' Y  x# T! v  U
' W: s/ p) j4 s7 Y* MStore a2 in the alpha array
" v: r9 D( k& W2 w
5 |! A7 K( y( sreturn 1
endprocedure
核心代码很紧凑，就是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会不停的选择最需要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，保证得到一个正确可用的 SVM 程序，这是后面的基础。
  O" m; q1 m3 C: X第二步：实现核函数缓存
观察下上面的伪代码，开销最大的就是计算核函数 K(xi, xj)，有些计算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设总共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，需要 N*N * sizeof(double) 的空间，如果训练集有 10 万个样本，那么需要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，所以核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中其实会反复用到特定的几个有限的核函数求解，所以命中率不用担心。
( h* S2 }6 F0 l7 P! t6 N有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
5 _9 J1 H1 ]! [/ C7 m第三步：优化误差值求解
注意看上面的伪代码，里面需要计算一个估计值和真实值的误差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
E(i) = f(xi) - yi
这就是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，因为回顾下上面的公式，计算一遍 f(x) 需要 for 循环做乘法加法。
9 G7 U$ L( h4 Uplatt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。其实这是有问题的，后面我们会说到。最好的方式是定义一个 g(x) 令其等于：

也就是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的计算，那么我们随时可以计算误差：
E(j) = g(xj) + b - yj
$ O9 ^4 k& x: R0 v6 f所以最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里因为所有 alpha 值初始化成了 0，所以 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，稍微观察一下 g(x) 的公式，你就会发现，因为去掉了 b 的干扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变化的，所以我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变化了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，具体代码类似：
double Kik = kernel(i, k);
6 M# F8 ]0 F  N" m3 L! R) Idouble Kjk = kernel(j, k);
G[k] += delta_alpha_i * Kik * y + delta_alpha_j * Kjk * y[j];
把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 以后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复计算。
! i% g1 _, i) f# O' j. p这其实是很直白的一种优化方式，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
8 {/ R# P6 s& @, Y第四步：实现冷热数据分离
Platt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不容易变动，而且伪代码也是优先在工作集里寻找 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对工作集整体的 alpha 值进行迭代。
* B, h% R- ]4 r4 y' C那么我们势必就可以把工作集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于等于 0 或者大于等于 C 的 alpha）。
随着迭代加深，会发现大部分时候只需要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步不停的收缩，所以区分了冷热以后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔不行了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
6 S% R$ |% y3 e4 x7 I- ~5 }5 h第五步：支持 Ensemble
大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，所以我们需要做一些改动。可以让外面针对某一个分类传入一个“权重”过来，修正 SVM 的识别结果。
最传统的修改方式就是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修改方式是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入计算。
3 B' j- c" ~" A( q9 ^这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们继续优化。
第六步：继续优化核函数计算
: t! f: N1 s/ e核函数缓存非常消耗内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
% y; |* F2 y0 ], v针对核函数的计算和存储有很多优化方式，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只计算有限的几个核函数，然后通过插值的方式求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降低了一倍空间需求。
第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
对于高维样本，比如文字这些，可能有上千维，每个样本的非零特征可能就那么几个，所以稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特征，大部分样本都有 100个以上的非零特征，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
  x$ l+ B4 b/ j# {# K) A非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特征的值，在工程方面就有很多优化方式了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能获得更好的计算性能。
所以最好的方式是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾时间和空间效率，对不同的数据选择最适合的方式。
' g0 T3 y* z1 Y- V第八步：针对线性核进行优化
$ ]; O+ h- ]) J- w' n6 y$ t传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，就是：
2 F( H5 j  m" @8 Q8 PK(xi, xj) = xi . xj
还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度下降的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适合线性核，使用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加庞大的数据集，LIBLINEAR 就是做这件事情的。
同时这类算法也适合 online 训练和并行训练，可以逐步更新增量训练新的样本，还可以用到多核和分布式计算来训练模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度下降迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的方式求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
后话
上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的原理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
" Q  K0 C  A- i7 L) O' _6 X. y上面就是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再往后还有兴趣，可以接着实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。
0 j1 G/ r( G3 \4 O; |
来源：http://www.yidianzixun.com/article/0Lv0UIiC
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