如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序

※鱼鱼╰☆

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7 g7 r5 V8 E; _9 Z$ z学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
假设你已经读懂了 SVM 的原理，并了解公式怎么推导出来的，比如到这里：
5 f4 ]( `: x6 ~, Y; `
7 E5 T/ Q) [2 E' d  Z, MSVM 的问题就变成：求解一系列满足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：

上面的公式计算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 类别，否则是 -1 类别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
/ p" Z/ L; P5 X! r8 L2 K那么剩下的 SVM 实现问题就是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个起点，比如 Platt 的 SMO 算法，它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
第一步：实现传统的 SMO 算法
现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
# l5 B, b  O& s) b' Wprocedure takeStep(i1,i2)
if (i1 == i2) return 0
* Q0 Y  E0 A2 E alph1 = Lagrange multiplier for i1
, ?0 U* b! r6 _) J
y1 = target[i1]
, t/ R5 e" @3 ]
# n* ?( E- T" O& qE1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)

s = y1*y2

Compute L, H via equations (13) and (14)
5 f7 y9 }4 R! P2 H. Q4 m
if (L == H)
9 y) p+ g& ?, a$ R$ T5 j
return 0
$ _# [6 j. P- l4 p1 S0 d
k11 = kernel(point[i1],point[i1])
2 M% ?% n) [; ~
; d6 r! H8 B  n; G6 R6 Rk12 = kernel(point[i1],point[i2])
5 S5 z6 l3 Z. R6 R4 F; _# S
k22 = kernel(point[i2],point[i2])
3 l& U4 m+ ~: F9 B1 T$ p/ T
eta = k11+k22-2*k12
% Y. ~+ X0 ~- z7 Q6 B) Y
if (eta > 0)
+ w4 L9 S" \' l8 _: m
' g$ l* @: x' E- \) U1 N1 A{
* i% ^, H1 \" Q2 G5 ^
$ ?+ ^7 l" H- S9 Q" s7 }/ na2 = alph2 + y2*(E1-E2)/eta
4 h! ?* e) g+ L) N
if (a2 < L) a2 = L
  W2 Q% E! @: e3 j' `  B1 t9 g
else if (a2 > H) a2 = H

}

else

* [4 ^; \# J" Y# Z6 d$ I{
& F( U" e0 W$ g: k" q5 k% ]9 D
# B# o+ U7 A$ s" ]1 k, `& zLobj = objective function at a2=L
' k# @% R9 ]: }& }
Hobj = objective function at a2=H

if (Lobj < Hobj-eps)

/ R7 c. h+ |+ Q# l* L- U0 Ma2 = L
3 g1 q; s/ H# G9 t* {% z7 u
else if (Lobj > Hobj+eps)
7 h3 c: F9 A# |: n
a2 = H
, M; ?) H9 Z9 i2 h; h/ l. U& M+ G
else
1 }/ C2 B" m& F
" o% _/ A" v8 O6 `: ca2 = alph2

}
6 W( l: Q- H" }* Q- X5 y9 `9 \6 u: o
if (|a2-alph2| < eps*(a2+alph2+eps))

/ S( n: R" G! {" d7 V0 preturn 0

a1 = alph1+s*(alph2-a2)

0 b- o: y& x* o, W* [! U# aUpdate threshold to reflect change in Lagrange multipliers

Update weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear
9 H: _' u! I2 c% E- u
4 l4 }; y1 ~7 z) i! ]7 WUpdate error cache using new Lagrange multipliers
& u/ Z0 s& G7 e2 @4 k
4 B, z; \# P- {0 ~" DStore a1 in the alpha array

Store a2 in the alpha array

return 1
endprocedure
核心代码很紧凑，就是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会不停的选择最需要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，保证得到一个正确可用的 SVM 程序，这是后面的基础。
第二步：实现核函数缓存
; q. ^, m( s) G5 G! Z- i7 ~观察下上面的伪代码，开销最大的就是计算核函数 K(xi, xj)，有些计算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设总共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，需要 N*N * sizeof(double) 的空间，如果训练集有 10 万个样本，那么需要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，所以核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中其实会反复用到特定的几个有限的核函数求解，所以命中率不用担心。
1 e; g. e1 \1 f1 y  X. {9 N3 `( _6 {有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
) z! Z8 n" a4 Z# N$ h; T第三步：优化误差值求解
注意看上面的伪代码，里面需要计算一个估计值和真实值的误差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
5 X2 ~) M7 Y5 J8 S) JE(i) = f(xi) - yi
这就是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，因为回顾下上面的公式，计算一遍 f(x) 需要 for 循环做乘法加法。
platt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。其实这是有问题的，后面我们会说到。最好的方式是定义一个 g(x) 令其等于：

也就是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的计算，那么我们随时可以计算误差：
+ N) B8 i& e! }* GE(j) = g(xj) + b - yj
6 T1 ]! z$ Z# @5 T4 o% }7 |所以最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里因为所有 alpha 值初始化成了 0，所以 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，稍微观察一下 g(x) 的公式，你就会发现，因为去掉了 b 的干扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变化的，所以我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变化了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，具体代码类似：
8 Y2 J- G7 H5 h4 {- x- Vdouble Kik = kernel(i, k);
double Kjk = kernel(j, k);
G[k] += delta_alpha_i * Kik * y + delta_alpha_j * Kjk * y[j];
把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 以后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复计算。
这其实是很直白的一种优化方式，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
4 b& q% h& ~# U; Z* G/ u第四步：实现冷热数据分离
Platt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不容易变动，而且伪代码也是优先在工作集里寻找 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对工作集整体的 alpha 值进行迭代。
那么我们势必就可以把工作集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于等于 0 或者大于等于 C 的 alpha）。
随着迭代加深，会发现大部分时候只需要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步不停的收缩，所以区分了冷热以后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔不行了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
% T& V9 v$ Q0 Z2 h# P, B第五步：支持 Ensemble
" C% J: v: v' E, I. C大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，所以我们需要做一些改动。可以让外面针对某一个分类传入一个“权重”过来，修正 SVM 的识别结果。
最传统的修改方式就是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修改方式是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入计算。
5 O$ X. d( m/ `& ^: \$ a) }这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们继续优化。
$ u* D# O6 I! A: L! \( C( d第六步：继续优化核函数计算
  Y0 ?; U! `# c2 A核函数缓存非常消耗内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
" r7 B" G1 F; u3 K) _- o1 ]$ H7 B  U针对核函数的计算和存储有很多优化方式，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只计算有限的几个核函数，然后通过插值的方式求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降低了一倍空间需求。
$ k) h5 i/ C5 u2 X' ^* M第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
; |% D+ P* q, `5 S0 p5 M对于高维样本，比如文字这些，可能有上千维，每个样本的非零特征可能就那么几个，所以稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特征，大部分样本都有 100个以上的非零特征，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
; ^3 o" i  D5 K& @: T' C非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特征的值，在工程方面就有很多优化方式了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能获得更好的计算性能。
* p( }/ q# q4 A' k所以最好的方式是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾时间和空间效率，对不同的数据选择最适合的方式。
) c' ~8 n- O6 |# H第八步：针对线性核进行优化
传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，就是：
$ _& C, q7 q- X% X8 l; l2 b( pK(xi, xj) = xi . xj
3 [  G! l4 b6 w还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度下降的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适合线性核，使用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加庞大的数据集，LIBLINEAR 就是做这件事情的。
同时这类算法也适合 online 训练和并行训练，可以逐步更新增量训练新的样本，还可以用到多核和分布式计算来训练模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度下降迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的方式求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
$ F" o1 R) m/ _( E" `& k后话
; w+ q# a0 f/ Q1 r4 X- ]. k( n, T上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的原理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
上面就是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再往后还有兴趣，可以接着实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。

* N" T) |( [) B% M+ n) V8 y' }, b1 Z来源：http://www.yidianzixun.com/article/0Lv0UIiC
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