如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序

※鱼鱼╰☆

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学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
6 \: w, [+ x+ U- T假设你已经读懂了 SVM 的原理，并了解公式怎么推导出来的，比如到这里：

SVM 的问题就变成：求解一系列满足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：
4 f  O% Q- y2 d% ~+ }2 C
7 e) W3 @( }6 {; ~* ?7 S) \; \上面的公式计算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 类别，否则是 -1 类别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
: S! D' |* @9 S  k那么剩下的 SVM 实现问题就是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个起点，比如 Platt 的 SMO 算法，它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
1 l6 o- U5 e* [" w$ F0 i+ N4 T, T" Y0 \第一步：实现传统的 SMO 算法
现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
# |5 ?; y  \) P1 c* x) Bprocedure takeStep(i1,i2)
1 f9 ]- ~1 F2 m! Q8 } if (i1 == i2) return 0
, {5 L* U) I! V; o/ }' U' r# h6 I alph1 = Lagrange multiplier for i1

y1 = target[i1]
, M  _9 k2 i6 E( s0 W0 @
5 t- a; W4 |/ ^, x& XE1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)
5 G! e6 l. U  V1 ~
( e: n1 \& `. n* y" E  t5 Z9 ?s = y1*y2

Compute L, H via equations (13) and (14)

& a. z+ k; ?3 `. t* L6 Vif (L == H)
. h: k: T! U+ W1 Z
return 0

& A4 f. ]8 X3 H' }/ u9 U; _k11 = kernel(point[i1],point[i1])
9 Y! U: B0 W& c  Z/ ~9 Z! H4 k' z
, u! y4 E+ P( H2 y5 _k12 = kernel(point[i1],point[i2])

k22 = kernel(point[i2],point[i2])
: E7 j( e! ~/ d* S* Z
eta = k11+k22-2*k12
/ l) r' w: z4 g+ e1 d$ m
  N3 b% w# l8 v# G0 S" k8 E% r  Y% Rif (eta > 0)

{

& W% D6 x8 l* w# \: ca2 = alph2 + y2*(E1-E2)/eta

( w- O/ \' M: L1 l0 u1 H8 Pif (a2 < L) a2 = L
  a" k  b6 Y5 t8 J( Y5 r$ V
3 E% D+ b# @( t- Qelse if (a2 > H) a2 = H
  F2 ~, h7 O# \) t$ {7 H
' B& y; v" M2 d- V3 @7 u}
) v0 J8 N+ i" T) M
else

{
2 q8 l7 u1 q" K* L' S+ f
3 `- d! M/ N. d: DLobj = objective function at a2=L
4 m7 v. Q* H! H
) A9 M2 \+ J) X1 q0 Y; U6 XHobj = objective function at a2=H

+ M8 w7 C& c6 [! t1 M% Q, b4 ]if (Lobj < Hobj-eps)

4 a; v) [6 f- b# X$ ga2 = L

  _  D1 N: j# Z& {% Oelse if (Lobj > Hobj+eps)

a2 = H

else

2 |4 m8 w  z& [a2 = alph2
7 q% x: I: `' b9 p2 B
# S7 [; H) l, Y* j+ w; L}

if (|a2-alph2| < eps*(a2+alph2+eps))

- \2 b- d6 X0 h. Ureturn 0

a1 = alph1+s*(alph2-a2)
. I) v6 m# f7 |* J1 A! u5 R
Update threshold to reflect change in Lagrange multipliers

Update weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear
/ t: C2 M- S# W$ _2 j3 A3 S
Update error cache using new Lagrange multipliers
% M' v+ j; K- A' G! [
6 Q3 q. L% r4 e) P/ {/ n2 B" u( bStore a1 in the alpha array
1 a+ X# P, n7 H4 m; c1 |9 k" X
Store a2 in the alpha array
: a' v; {" U) C0 z! ^4 F
- v8 l5 W/ |4 p3 E. ^return 1
  Y: ~1 g- N1 ~( \, G0 m" Vendprocedure
! G! e+ u" v* `8 M# p) ]& W8 m# `9 B( r核心代码很紧凑，就是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会不停的选择最需要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，保证得到一个正确可用的 SVM 程序，这是后面的基础。
第二步：实现核函数缓存
5 C: u' O6 j0 L3 `: f1 X# L- K  L观察下上面的伪代码，开销最大的就是计算核函数 K(xi, xj)，有些计算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设总共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
- d) j4 s/ Z/ t1 r3 K4 v# }样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，需要 N*N * sizeof(double) 的空间，如果训练集有 10 万个样本，那么需要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，所以核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中其实会反复用到特定的几个有限的核函数求解，所以命中率不用担心。
有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
第三步：优化误差值求解
% a+ Q+ j" k7 a1 d4 E0 d注意看上面的伪代码，里面需要计算一个估计值和真实值的误差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
E(i) = f(xi) - yi
这就是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，因为回顾下上面的公式，计算一遍 f(x) 需要 for 循环做乘法加法。
platt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。其实这是有问题的，后面我们会说到。最好的方式是定义一个 g(x) 令其等于：

1 D  ^1 U7 J2 Y8 @- T( w/ @也就是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的计算，那么我们随时可以计算误差：
E(j) = g(xj) + b - yj
所以最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里因为所有 alpha 值初始化成了 0，所以 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，稍微观察一下 g(x) 的公式，你就会发现，因为去掉了 b 的干扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变化的，所以我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变化了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，具体代码类似：
double Kik = kernel(i, k);
9 c0 T; p+ I  {% j( v+ n' N( R6 Q( U/ Tdouble Kjk = kernel(j, k);
G[k] += delta_alpha_i * Kik * y + delta_alpha_j * Kjk * y[j];
把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 以后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复计算。
这其实是很直白的一种优化方式，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
第四步：实现冷热数据分离
Platt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不容易变动，而且伪代码也是优先在工作集里寻找 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对工作集整体的 alpha 值进行迭代。
那么我们势必就可以把工作集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于等于 0 或者大于等于 C 的 alpha）。
# k) D" R  P1 c随着迭代加深，会发现大部分时候只需要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步不停的收缩，所以区分了冷热以后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔不行了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
第五步：支持 Ensemble
9 x/ b+ t, F6 l' E- D: J大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，所以我们需要做一些改动。可以让外面针对某一个分类传入一个“权重”过来，修正 SVM 的识别结果。
最传统的修改方式就是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修改方式是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入计算。
( f/ G* j. e* D9 t这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
" W1 m' N. U% l5 O实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们继续优化。
" S. i+ m! n+ {3 W3 w( g6 ]第六步：继续优化核函数计算
4 k+ i0 o! T' _' f, Y% F核函数缓存非常消耗内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
+ k. p$ C$ h( ?" F4 U由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
* m4 P- K* T( L针对核函数的计算和存储有很多优化方式，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只计算有限的几个核函数，然后通过插值的方式求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降低了一倍空间需求。
第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
对于高维样本，比如文字这些，可能有上千维，每个样本的非零特征可能就那么几个，所以稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
0 P3 A5 h* a% G" I1 R但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特征，大部分样本都有 100个以上的非零特征，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特征的值，在工程方面就有很多优化方式了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能获得更好的计算性能。
9 q/ i: E2 y7 O$ a! l* O0 R所以最好的方式是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾时间和空间效率，对不同的数据选择最适合的方式。
第八步：针对线性核进行优化
传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，就是：
K(xi, xj) = xi . xj
还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度下降的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适合线性核，使用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加庞大的数据集，LIBLINEAR 就是做这件事情的。
3 X. u2 q% r0 [5 Z2 G3 _. K同时这类算法也适合 online 训练和并行训练，可以逐步更新增量训练新的样本，还可以用到多核和分布式计算来训练模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
/ X) a# g4 p, `; P, D+ q但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度下降迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的方式求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
后话
; i& P7 Q; R6 W3 Z, _4 f! `) m上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的原理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
上面就是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再往后还有兴趣，可以接着实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。

来源：http://www.yidianzixun.com/article/0Lv0UIiC
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